Quadrat Quersumme durch 9 Rest 0,1,4,7

[xparet0209]

hi leute
ich hab in einem buch die regel gefunden dass ein quadrat (und dessen quersumme auch) bei division durch 9 immer den rest 0,1,4 oder 7 lassen.
warum ist das jetzt so?

mir fällt grad nix gescheites als begründung ein...
kann mir jemand helfen?

mfg xparet0209

 

[Fidibus]

hmm, wozu willst du denn wissen warum das so ist? manche sachen darf man auch einfach glauben

naja, du willst wissen warum das gilt
ich hoffe du weißt was kongruenz bedeutet, wenn nicht, schau mal da nach
http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)

so mit der definition heißt deine aufgabe a €{0,1,4,7}
x²= a (mod 9)
<=> x²=k*9 + a
<=> 9|x²-a

so davon muss man dann schaun welche x überhaupt noch zu untersuchen sind
es gilt x²=(x-9)² (mod 9)
ist leicht ersichtlich, denn dafür muss gelten nach wiki definition
9|x²-(x-9)²
auseinander gezogen
9|x²-x²-2*9*x+9*9
9| 9*(2*x+9)
also gilt das
desweiteren gilt auch dass x und -x das selbe ergebnis liefern
also x²=(-x)² (mod9)
somit hat man das riesige nachrechnen auf ganz wenige reduziert
die kannste dir dann selber nachprüfen

 

[xparet0209]

nja egal ich habs auch gestern abennd noch hinbekommen^^
kann geclodes werden
aber trotzdem danke an Fidibus