Mathe [Betragsrechnung/Analysis/Abweichung vom Grenzwert]

[FrEeZeR]

Hallo,

seid geraumer Zeit beiße ich mir an dieser Aufgabe die Zähne aus:

Bestimme, ab wann die Folge An=(1-2n)/3n weniger als 1/100 bzw. 10^-6 vom Granzwert abweicht. Der Grenzwert der Folge ist -(2/3). Wenn man jetzt also die Gleichung nach |an - G| < 0,1 aufstellt erhält man

|(1-2n)/3n - (-(2/3))| < 0,1

Soweit richtig, oder?

Beginnt man jetzt mit der Umformung, holt man zuerst die -(2/3) rüber:

|(1-2n)/3n| < -0,6566667

Dann löst man den Bruch auf, holt die 3n rüber:

|(1-2n)| < -0,6566667 * 3n

Dann holt man die 2n mit rüber ergibt:

1 < -06566667 * 5n

Zum Abschluss jetzt noch die -0,6566667 wieder rüber:

-1,52284 < 5n

Das jetzt durch 5:

-0.304569 < n

also:

n > -0.304569

Das kann aber überhaupt nicht hinkommen!!!

Was mache ich denn falsch?

Liebe Grüße

 

[KasperIII]

Also ein Fehler ist schonmal in dem Schritt:


|(1-2n)/3n - (-(2/3))| < 0,1

Soweit richtig, oder?

Beginnt man jetzt mit der Umformung, holt man zuerst die -(2/3) rüber:

|(1-2n)/3n| < -0,6566667

Die -(2/3) kannst du nicht so einfach rüberbringen, da müsstest du die Dreicksungleichung anwenden, also lieber erstmal auf einen Nenner bringen.

 

[FrEeZeR]

Das ist Jacke wie Hose.

Ich kann die beiden auf einen Nennen bringen, denn habe ich auf der rechten Seite 3/300 + 200/300 = 203/300 = 0,06766667

 

[KasperIII]

Dan rechnest du Falsch: Auf gleichen Nenner:
->|(1-2n)/3n+2/3|<0,1
<->|(1-2n+2n)/3n|<0,1
<->|1/3n|<0,1
<->1<0,3n
<->n>10/3

und damit hast du dien ergebnis

 

[FrEeZeR]

Ich verstehe einfach nicht, wie du auf |(1-2n+2n)/3n|<0,1 kommst.
Versuchst du erst einmal (1-2n)/3n+2/3 zu nehmen, oder wie soll ich das verstehen. Versuche bitte einmal, deine Rechnenschritte zu kommentieren, ansonsten blicke ich dort nicht durch, aber danke schonmal für deine Hilfe

 

[KasperIII]

Also:
Wir betrachen zunächst nur den Term in dem Betrag:
|(1-2n)/3n+2/3|
Nun bringen wir das auf den gleichen Nenner (3n, also 2/3 mit n erweitern):
|(1-2n)/3n+2n/3n|
Jetzt kann man das auf einen Bruchstrich schreiben:
|(1-2n+2n)/3n|
die 2n's kürzen sich:
|1/3n|
und jetzt gelten:
|(1-2n)/3n+2/3|=|1/3n|<0,1
Und danach sind es simple Umformungen.

Hoffe es hilft dir jetzt, und ist verständlicher.

 

[FrEeZeR]

Dann erhalte ich für n = 0,3, das ist genau der gleiche Schwachsinn!

 

[KasperIII]

nicht ganz, du kriegst 10/3 raus, hast du den ne Lösung, was rauskommen soll?

 

[FrEeZeR]

Es muss n > 33 rauskommen

 

[KasperIII]

Ok, meine Rechnung stimmt, hab nur einen Fehler reingebaut/ übernommen:
Statt:
|(1-2n)/3n+2/3|=|1/3n|<0,1
steht da:
|(1-2n)/3n+2/3|=|1/3n|<0,01
und da kommt raus: n>100/3~33,33

 

[FrEeZeR]

Stimmt wohl!Aber ich verstehe nicht, warum, wenn du den Bruch mit n erweiterst, dann 2n/3n rauskommt, anstatt 2/3n. Man muss doch nur den Nenner mal n nehmen, oder wie macht man das?

 

[Xbelt]

wenn du 2/3 hast und das auf den nenner 3n bringen willst, musst du beides mit n multiplizieren -> 2n/3n -> das ist reines erweiteren, da man das n ja wieder kürzen könnte.

 

[FrEeZeR]

Aber warum kann ich nicht die 2/3 rüberbringen.

In einer Gleichung kann man doch mehr oder weniger machen was man will, solange es richtig ist. Aber anscheind kommt man ja nur mit dieser einen Art und Weise ans Ziel!

Liebe Grüße

 

[McKilroy]

In einer Gleichung kann man doch mehr oder weniger machen was man will, solange es richtig ist.

Nein, du kannst nicht machen, was du willst.

Du musst dir eine Gleichung wie eine Waage vorstellen:

Wenn du auf der einen Seite was machst, dann musst du auf der anderen Seite das gleiche machen, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

Oder du musst bei einem Bruchstrich oben und unten mit den gleichen multiplizieren. Auch dann bleibt es im Gleichgewicht, denn wenn du oben und unten mit der gleichen Zahl multiplizierst, dann kannst du die beiden Zahlen miteinander kürzen.