Inverse Matrix

[TheAwak3r]

Hallo Leute ich habe folgendes Problem. Ich schlag mich hier grad mit dem Maschenstronverfahren rum, und habe soweit auch keine Probleme. Das Aufstellen der Matrix klappt wunderbar und wenn ich die Matrix mittels eines CAS lösen lassen, kommen auch die richtigen Ergebnisse raus.

Allerdings muss ich das auch ohne Computer schaffen und daher meine Frage: Kann mir mal jemand Schritt für Schritt erklären, wie ich die unten angehangene Matrix lösen kann.

In der Uni haben wir das insagesamt 1x über die adjungierte Matrix gemacht, da ich allerdings das Thema Matrizen in der Schule nie hatte haben ich kein Wort verstanden. Ich wäre euch dankbar, wenn mir das mal jemand erklären könnte.

Hier muss ich nun also i1,i2,i3 berechnen.. Nur weiß ich nicht wie ich da per Hand vorgehen muss... :/

 

[Martini]

Es gäbe auch die Möglichkeit einfach die Matrix mit der Einheitsmatrix zu erweitern und dann mit dem Gauß Verfahren so umformen, dass du links die Einheitsmatrix stehen hast.
Dann ist das rechts die inverse Matrix

edit: Hat das Bild unten überhaupt was mit der inversen Matrix zu tun?
Das is doch eher ne ganz normale Multiplikation?

Oder lieg ich jetzt ganz falsch...

 

[nile]

Sehe ich wie Martini, das Bild betrifft nur das lösen eines linearen Gleichungssystems.

Du musst also nur die Matrix mit dem Vektor i1, i2, i3 multiplizieren und daraus dann das Gleichungssystem aufstellen, dann hast du drei Gleichungen mit drei Unbekannten und kommst auf die eindeutige Lösung in deinem Bild.

 

[McKilroy]

Du kannst das ganze als Matrix betrachten (die i1, i2 und i3 denkst du dir über den Spalten).

Matrix

i1 / i2 / i3

2 / 1 / 0 / 1
1 / 4 / 1 / 0
0 / 1 / 4 / 5

Um in der zweiten Reihe vorne eine Null zu bekommen, wird die zweite * 2 genommen und abgezogen (die dritte lassen wir erst einmal, weil vorne schon die 0 ist):

2 / 1 / 0 / 1
0 / -7 / -2 / 1
0 / 1 / 4 / 5

Um jetzt in der dritten Reihe vorne eine Null zu bekommen, wie die dritte * 7 genommen und dann 2. und 3. addiert:

2 / 1 / 0 / 1
0 / -7 / -2 / 1
0 / 0 / 26 / 36

Aus der letzten Zeile:

26 * i3 = 36

=> i3 = 68/26 = 18/13

Das setzt du in die zweite Zeile ein und rechnest i2 aus.

-7 i2 -2(18/13) = 1

-7 i2 -36/13 = 1

-7 i2 = 49/13

i2 = -7/13

Dann setzt du beides in die erste Zeile ein und rechnest i1 aus (kannst du selber machen).

Wenn du noch Fragen hast, melden.


PS Du hast oben i2 und i3 vertauscht, also nicht wundern, dass die bei mir andersrum sind.

PSS Man kann das Ganze über die Gleichungen lösen oder über die Matrix. Die Matrix ist ja nichts anderes als eine (schön einfache) Schreibweise und Lösungsmöglichkeit für Gleichungssysteme.

PSSS Mit einer inversen Matrix hat das nichts zu tun.